label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\Roman{page}\leftmark
הפונקציות ההיפרבוליות\Roman{page}
חשבון אינפיניטסימלי (2) -80132
מרצה: יורם לסט
מתרגלים: דניאל אופנר ומתן בן-אשר
סוכם ע"י: שריה אנסבכר
סמסטר ב' תשפ"ג, האונ' העברית
אשמח לקבל הערות והארות על הסיכומים על מנת לשפרם בעתיד, כל הערה ולו הפעוטה ביותר (אפילו פסיק שאינו במקום או רווח מיותר) תתקבל בברכה; אתם מוזמנים לכתוב לי לתיבת הדוא"ל: sraya.ansbacher@mail.huji.ac.il.
\(\sinh\) היא פונקציה אי-זוגית ו-\(\cosh\) היא פונקציה זוגית.
\(\clubsuit\)
הקשר לפונקציות הטריגונומטריות עמוק יותר משמירה על האי-זוגיות של \(\sin\) ועל הזוגיות של \(\cos\), בהמשך הקורס נראה שלכל \(x\in\MKreal\) מתקיים1אלה פשוט הגבולות של סדרת פולינומי טיילור של הפונקציות כשהם מפותחים סביב \(0\).:\[\begin{align*}
\exp\left(x\right) & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\\
\sin\left(x\right) & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\\
\cos\left(x\right) & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}
\end{align*}\]נוסחאות אלו הן שהביאה את אוילר להגדיר את שלוש הפונקציות הללו עבור מספרים מדומים בצורה הבאה2הגדרת הגבול של סדרה במרוכבים עובדת באותה צורה רק עם הערך המוחלט של המרוכבים.:\[\begin{align*}
\exp\left(ix\right) & =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(ix\right)^{n}}{n!}\\
\sin\left(ix\right) & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{\left(ix\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\\
\cos\left(ix\right) & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{\left(ix\right)^{2n}}{\left(2n\right)!}
\end{align*}\]כעת נשים לב לכך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left(-i\right)\cdot i^{2n+1}\cdot\left(-1\right)^{n}=\left(-i\right)\cdot i\cdot i^{2n}\cdot\left(-1\right)^{n}=1\cdot\left(i^{2}\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{n}=\left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{n}=1
\]ומכאן שמתקיים:\[\begin{align*}
\sinh\left(x\right) & =\frac{1}{2}\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{n}}{n!}\right)=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{n}}{n!}-\frac{\left(-x\right)^{n}}{n!}\right)\\
& =\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(-i\right)\cdot i^{2n+1}\cdot\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\right)\\
& =-i\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{\left(ix\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\right)=-i\cdot\sin\left(ix\right)
\end{align*}\]וגם:\[\begin{align*}
\cosh\left(x\right) & =\frac{1}{2}\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{n}}{n!}\right)=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{n}}{n!}+\frac{\left(-x\right)^{n}}{n!}\right)\\
& =\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2x^{2n}}{\left(2n\right)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(-i\right)\cdot i\cdot i^{2n}\cdot\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)\\
& =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{\left(ix\right)^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)=\cos\left(ix\right)
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
אבל איך בכלל ידענו לסמן \(x:=\ln\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)\)? נניח שקיים \(x\in\MKreal\) כך ש-\(\sinh\left(x\right)=y\), כלומר:\[
y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow y\cdot e^{x}=e^{x}\cdot\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2}\\
& \Rightarrow2ye^{x}=e^{2x}-1\\
& \Rightarrow0=e^{2x}-2ye^{x}-1
\end{align*}\]נסמן \(t:=e^{2x}\),\[\begin{align*}
& \Rightarrow0=t^{2}-2yt-1\\
& \Rightarrow t=\frac{2y\pm\sqrt{4y^{2}+4}}{2}=\frac{2y\pm2\sqrt{y^{2}+1}}{2}=y\pm\sqrt{y^{2}+1}
\end{align*}\]כעת נשים לב לכך ש-\(y+\sqrt{y^{2}+1}\) חיובי בעוד ש-\(y-\sqrt{y^{2}+1}\) שלילי ולכן בהכרח \(x=\ln\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)\).
לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(\cosh^{2}\left(x\right)-\sinh^{2}\left(x\right)=1\).
לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
\sinh'\left(x\right) & =\cosh\left(x\right)\\
\cosh'\left(x\right) & =\sinh\left(x\right)
\end{align*}\]
\(\sinh\) היא פונקציה הפיכה וההופכית שלה היא הפונקציה \(\text{arsinh}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
\text{arsinh}\left(x\right):=\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)
\]
ראינו לעיל שלכל \(x\in\MKreal\) מתקיים \(\sinh'\left(x\right)=\cosh\left(x\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\), פונקציית האקספוננט חיובית ממש על כל הישר הממשי ומכאן שגם \(\cosh\) חיובית ממש על כל הישר, כלומר הנגזרת של \(\sinh\) חיובית ממש על כל הישר ומכאן שהיא עולה ממש וממילא חח"ע. יהי \(y\in\MKreal\), ונגדיר \(x:=\ln\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)\), נשים לב ש-\(y^{2}+1>y^{2}\) ומכיוון שפונקציית השורש עולה ממש הדבר גורר ש-\(\sqrt{y^{2}+1}>\sqrt{y^{2}}=\left|y\right|\geq-y\) ומכאן ש-\(y+\sqrt{y^{2}+1}>0\) ולכן ניתן לחלק בו ללא בעיות. נוכיח ש-\(\sinh\left(x\right)=y\):\[\begin{align*}
\sinh\left(x\right) & =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\ln\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)}-e^{-\ln\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)}\right)\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left({\color{red}y+\sqrt{y^{2}+1}}-\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}\right)\\
& =\frac{1}{2}\cdot\frac{{\color{red}\left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right)^{2}}-1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\frac{{\color{red}\left(y^{2}+2y\cdot\sqrt{y^{2}+1}+y^{2}+1\right)}-1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}\\
& ={\color{blue}\frac{1}{2}}\cdot\frac{{\color{blue}2}y^{2}+{\color{blue}2}y\cdot\sqrt{y^{2}+1}}{y+\sqrt{y^{2}+1}}\\
& =\frac{y^{2}+y\cdot\sqrt{y^{2}+1}}{y+\sqrt{y^{2}+1}}=y
\end{align*}\]\(y\) הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל \(y\in\MKreal\) קיים \(x\in\MKreal\) כך ש-\(\sinh\left(x\right)=y\), כלומר \(\sinh\) היא על, אך לא רק שבכך הוכחנו שהיא הפיכה אלא שמצאנו גם את ההופכית שלה שהיא הפונקציה \(\text{arsinh}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
\text{arsinh}\left(x\right):=\ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)
\]
לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים:\[
\text{arsinh}'\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}
\]
יהי \(x\in\MKreal\), מכלל השרשרת נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\text{arsinh}'\left(x\right) & =\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\left(1+\frac{2x}{2\cdot\sqrt{1+x^{2}}}\right)\\
& =\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)\\
& =\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\\
& =\frac{\sqrt{1+x^{2}}+x}{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\cdot\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}
\end{align*}\]
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים?אתם מוזמנים לתת טיפ.להורדה כ-PDF:
#scrollButton {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
z-index: 1;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקה
{"prefetch":[{"source":"document","where":{"and":[{"href_matches":"\/*"},{"not":{"href_matches":["\/wp-*.php","\/wp-admin\/*","\/wp-content\/uploads\/*","\/wp-content\/*","\/wp-content\/plugins\/*","\/wp-content\/themes\/twentytwentyfive\/*","\/*\\?(.+)"]}},{"not":{"selector_matches":"a[rel~=\"nofollow\"]"}},{"not":{"selector_matches":".no-prefetch, .no-prefetch a"}}]},"eagerness":"conservative"}]}
דף הביתתרומהשיעורים פרטייםמפת אתראודותREADMEהתנצלותו של המתמטיקאיהקדשהאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.id = 'wp-skip-link';
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerText = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );